Файл:Радиолюбитель 1930 г. №03.djvu

Материал из РадиоВики - энциклопедии радио и электроники
Перейти к: навигация, поиск
Выкупить рекламный блок
Ссылка на страницу индекса

Комплексные

/"ОБЫЧНО в курсе средней математики 'дается лишь небольшое представление о комплексных величинах. Однако в електротехнике и радиотехнике метод комплексных чисел находит себе широкое

Рис. 1

и успешное применение. Те электротехнически^ <адачи, в которых фигурир>ет интегральное исчисление, иноЛ раз могут быть сведены к средней математике с помощью этого метода.

Действия же над комплексными числами, столь поле нье в радиолюбительских вычислениях, не представляют ботыпих трудно •'ей даже при первоначальном ознакомлении. В настоящей статье дается изложение комплексного метода па простейших примерах из радиотехники

Комплексные числа в алгебре

В первую очередь вспомним из курса алгебры, что число j = j/— 1 яв 1яется „мвимьм", так клк указать реально результат извлечения этого корня мы не можем 1. Всякое число при умножении на становится. мнимым. Н, а „ко.чп-

лексным", т.-е. составным, сборным числом п •» нято называть такую сумму, куда входят и вещественные и мнимые слагаемые: х = a

Комплексное число х состоит из вещественной части а и мнимой части jb. Если множитель Ь равен нулю, то мы имеем обыкновенное вещественное число а

Посмотрим, что получается в результате простейших действий над комп .ек- сеыми числами. Пусть требуете ■ сложить два числа: хх = ах --jbx и х2 = аг + jb2, сумма будет: х = хх -f х2 = ах + jbx) -f-

-г (®2 4- jb2) = (°i + °2) 4~ j(h 4" 1’ *е*

в pe.iy.Tt тати получилось ново-, тоже комплексное чи< ло. Аналогично производится и вычитание.

Приступая далее к умножению, будем помнить следующее равенство:

i1 = (V—Л)2 * = —1

Рассмотрим попизведение комплексов: х =» хх. х2 — (a, -h jbx). («2 + Л2) = ах02-- 4* jb,at i&2ai 4" bxb«= (OjOj — ЬХЬ2 > -}- 4- ilOjOf 4- <hbv).

Очевидно, что езультат перемножения также представ, лет с -бой комплексное число. Пока мы ограничимся лишь этими алгебраическими примерами.

1 В математике для обозначения мнимого

числа чаш* уяотрабляет'-я букв» „)*, но в элек¬

тротехнике *та буква уже .аавяга* для обозна¬

чение силы тока.

числа—в помощь

Н. М. Изюмов

Г рафическое и тригонометрическое представления комплексного числа

Как вещественная, так и мнимая части комплекса могут быть или положительными или отрицательными. Очень удачно усло- вили ь Э1И соотношения пре югавлять графически, при чем именно графическое из' браженио кладет первый мост меж iy математикой и электротехникой. Рассмотрим рис. 1. Горизонтальная ось пусть будет oci.ro вещественных ч сел; на ней в определенном масштабе откладываются как положительные, так и отрицательные реальные числа. Вертикальная о« ь является осью мнимых чисел, при чем вверх от иачальн й точки идут положнтел- ные их значения, а вниз — отрицатед» чые.

Легко заметить, что каждому комп гкс- ному чи-лу соотвествует на i лоскостя вп >лне определенная точка, координаты которой численно выражаются вещественной и мнимой частями. Так, на рис. 1 изображено число х = ‘S--2j.

х,+х2-(а,+а2) у(4+%)

1 кч.

1. У

°/+<Х2

Рис. 2

При сложении или вычитании комплексных чис-л достаточно произвести эти действия в отдельности над вещественными и мнимыми частями на соответстьую- щих осях и затем Н'йти точку, опрёде- ляющ' ю результат дейс1вия. Это показано на рис 2

Но точку на плоскости можно зафиксировать и иным способом: достаточно задать ее расстояние г от начала коорди нат и угол <р, состанленный направлением г с г ризонтальной осью (рис. 3).

Связать это новое задание с прежним можно следующими очевидными равенствами:

z=[/az 4-62 (как гипотенуза)

_Ъ_ (как отношение противолежаще- г9<Р — а го катета к прилежащему).

Величина г называется .модулем*4 ком- плесного числа, а угол <р носит название „аргумента".

Насчет „увязки® с электротехникой

При взгляде на рич 8 мы невольно вспоминаем апологичное посроепие, называемое в электротехнике „треугольником сопротив ле' ий-. Но если так, то нельзя ли сложное сопротив 1вние в цепи переменного тока выразить комплексным числом? Оказывается можно, и притом оч' нь удачно.

В цепях переменного тока мы встречаем два вида сон* отивлепий. Bo-uei пых, ваттные сопротивления, связанные с невозвратными потерями энергии; во-вторых, безваттные (емкостного иди иыдук-

радиотехнику

тивяого характера), уменьшающие силу тока, но не расходующие на себя энергию. Само собой напрашивается для п»р- лых название „вещественные", а для вторых „мнимые**.

Полное сопротивление г, как учит теория переменного тока, является модулем ваттной и безваттной слагающих:

г = j/aH-b2

Если безваттная часть представляет собой индуктивное сопротивление, создающее „положительный" сдвиг <}аз, то- удобно будет задать это сопротивление и комплексной форме с тем расчетом, чтобы на диаграмме мы были принуждены отложить его вектор вверх по вертикальной оси.

х: — joj L

Емкостное сопротивление должно быть- отложено по вертикальной оси вниз, лак как емкость вызывает отставание по фазе напряжения силы тока. Мы подчеркиваем эту мысль, выразив емкостное сопротивление в комплексной форме со знаком минус:

. 1

Xc-—J шс

И вот, приняв такие обозначения, мьг получили широкие возможности для расчета сложных электрических цшей. Ряд дальнейших примеров иллюстрирует эти возможности.

Закон Ома для цепи без ветвей

Начвем с цепи (рис. 4), составленной из последовательного включения емкости- самоиндукции и омического сопротивления. Если мы будем, как условились ра-

Рис. 3

нео, символически обозначать множителем -fi индуктивное, а множителем —j емкостное сопротивления, то нам для вычисления полного сопротивления достаточно будет лишь сломить все три величины алгебраически.

= *+>("£-5?)

Желая найти молуль этого выражения, пользуемся данной выше формулой:

•=У

РАДИОЛЮБИТЕЛЬ М3

109


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Перейти на страницу


Исходный файл(3361 × 4473 пикселей, размер файла: 14 МБ, MIME-тип: image/vnd.djvu, 40 страниц)

Importing file

История файла

Нажмите на дату/время, чтобы просмотреть, как тогда выглядел файл.

Дата/времяМиниатюраРазмерыУчастникПримечание
текущий04:12, 16 июня 2014Миниатюра для версии от 04:12, 16 июня 20143361 × 4473, 40 страниц (14 МБ)Maintenance script (обсуждение)Importing file
04:00, 16 июня 2014Миниатюра для версии от 04:00, 16 июня 20143361 × 4473, 40 страниц (14 МБ)Maintenance script (обсуждение)Importing file
23:31, 30 мая 2014Миниатюра для версии от 23:31, 30 мая 20141656 × 2218, 40 страниц (20,31 МБ)Maintenance script (обсуждение)Importing file
  • Вы не можете перезаписать этот файл.

Следующая 1 страница ссылается на данный файл: