Страница:Радиофронт 1931 г. №18.djvu/31

Материал из РадиоВики - энциклопедии радио и электроники
Перейти к: навигация, поиск
Выкупить рекламный блок
Эта страница не была вычитана


Теперь мы можем пёрейти к основному вОНросу, который нас интересует, именно к вопросу о том, как можно какую либо сложную зависимость изобразить в виде суммы ряда более простых зввисим 'стей, подобных тем, которые мы сейчас рассмотрели. Пусть мы имеем какую-либо функцию (у), зависящую от одного аргумента х. Обозначают это обычно так: y~f{x). В математике существует прием, при помощи которого данную функцию можно изобразить в виде суммы ряда функций вила ахп, или, как говорят, в виде степенного ряда. Другими словами, всегда можно выбрать такие постоянные величины Oq, а{, а^,.... и т. д., чтобы было справедливо равенство: y = f(x)=za0-{-alx-{-a1ix^~{-a^~- • • * - причем, конечно, эти постоянные величины а0, av и т. д. определяются видом функции f(x). Но вся беда в том, что этот ряд бесконечный, т. е. для того, чтобы это равенство было т< чно соблюдено, нужно, вообще говоря, написать сумму бесконечного числа членов вида ап хп, где п проходит все значения от нуля до бесконечности. А для расчетов такой результат, конечно, мало пригоден: заменить более сложную функцию более простыми очень удобно, но иметь дело с бесконечно большим числом этих простых функций для практических расчетов совершенно неприемлемо. Но зато с другой стороны для практических расчетов никогда не требуется абсолютной точности. Для практики мы можем удовольствоваться тем, что написанное нами равенство удовлетворяется не совершенно точно, а только приблизительно, с некоторой определенной точностью.

Если пойги на это и удовлетвориться только некоторым приближенным а не совершенно точным выражением нашей функции в виде степенного ряда, то в известных случаях, как мы это сейчас увидим, можно ограничиться очень небольшим числом членов этого ряда и вовсе не нужно продолжать этот ряд до бесконечности. Возьмем,

например, функцию, которая изображается в виде бесконечного ряда2:

y = f(x)= +

+ 1.2.3.4 3:4+17273^75'3=5 + ' ' *

(в этом случае, значит, величины ан имеют значе-

1 1 1 1 Л

ния а0 =r 1, ах — 1, а2 — а3=— и т. д.) и условимся, что мы хотим для практических расчетов определить эту функцию с ошибкой не более, чем в 5% (для практических целей такая точность обычно бывает вполне достаточна).

Если х меньше единицы, то во всяком случае каждый следующий член ряда меньше предыдущего (гак как при возведении в степень числа меньшего единицы мы получаем еще м ньшее число). Но еще и при х= каждый следующий член ряда оказывается меньше предыдущего, так как при возведении в любую степень единицы мы получим снова единицы, а множители, стоящие перед каждым членом ряда, все время при переходе от одного члена • следующему убывают. Если же каждый следующий член меньше предыдущего, то ясно, что нам нет смысла писать все члены ряда до бесконечности, так как каждый следующий член будет оказывать все меньшее и меньшее влияние на величину суммы, т. е. на выражение нашей функции. И если мы ограничиваемся некоторым заданным приближением, то мы всегда можем ограничиться некоторым определенным числом членов ряда. Например, при аг = = 1 наша функция выразится так:

y-f (a:) = 1 + l+Y + -g- + ^i + Y5o- * •

т. е. у = 21/а + -1+ Я + т• * • Но >/, по от-

ношению к 2?/а составляет около б1 /а°/о» а так как мы условились изображать нашу функцию с ошибкой не более, чем в 5°/0, то этот четвертый член мы должны еще учитывать при разложении функ-

  • Это показательная функция |>■ где • — основание

натуральных логарифмов; ыа функция очень часто встречается в райличныл ыатсмашческих задачах.