Страница:Радиофронт 1931 г. №18.djvu/32

Материал из РадиоВики - энциклопедии радио и электроники
Перейти к: навигация, поиск
Выкупить рекламный блок
Эта страница не была вычитана


Пни в ряд. Что же касается пятого члена Н/м)» то он по отношению к самой функции (2/3-}~ 1/с = = 2,67) составляет менее 2%, и поэтому при выбранной нами точности мы можем этот член отбросив и оборвать наш ряд на четвертом член* Мы получим При этом нужную нам точность, но, конечно, при условии, что аргумент х не принимает значений, больших единимы Если аргумент х мог бы принимать значения больше единицы, то члены с более высокими степенями х стали бы расти, и мы уже не имели бы права их отбросить, т.-е. не имели бы права ограничиваться четырьмя членами разложения в ряд. Другими словами, при той точности, которой мы ограничились, и при условии, что аргумент изменяется от 0 до 1, нам нет никакой надобности писать больше четырех членов ряда, и значит мы можем с нужной нам

Рис. 8

точностью изобразить взятую нами сложную функцию в виде постоянного члена, равного единице

и суммы трех более простых функций х, -i- х2 и

4г ас8. Если мы задались большей точностью, на- о

пример, потребовали бы, чтобы ошибка была не

более 1%, то пятый член нам пришлось бы

учитывать, и отбросить мы могли бы только

шестой член так как он по отношению ко

всей функции составляет менее 1%. Наоборот если бы мы удовольствовались бы меньшей точностью, например в 10%, то мы могли бы ограничиться только тремя членами, а четвертый член (%) отбросить.

На этом примере мы видим, что всякую сложную функцию мы можем в определенных границах изменения аргумента (в рассмотренном нами

случае аргумент Мы счисли изменяющимся от 0

до 1) изобразить в виде суммы нескольких степенных функций. Если мы 01раничим еще больше область изменения аргумента, то мы можем при Той же точности ограничиться меньшим числом членов ряда. Действительно, пусть в нашем примере аргумент х изменяется не от 0 до 1, как раньше, а только от 0 до 0,2. Тогда при наибольшем значении аргумента, т. е. при х = 0,2, наш ряд напишется так:

2/= 1+0,2 +

0,04

2

+

0.008

6

или у — 1 -j- 0,2 + 0,02 + 0,0013 • • • очевидно, при таких границах изменения аргумента и при выбранной нами точности (5%). мы можем ограничиться всего только двумя членами, т.-е. считать, что у = 1 х.

Это значит, что во взятом нами интервале рассматриваемая нами функция с той точностью, какая нами выбрана (5%), ведет себя как линейная. Если же мы повысили точность до 1%, то мы должны будем учесть и третий член, т.-е. рассматриваемую нами ф'Ньцию в выбранном ин>ер- вале изменений аргумента (от 0 до 0,2) изображать так:

т.-е. при этой более высокой точности мы уже сможем взятую нами функцию в рассматриваемом интервале отличить ог линейной.

Выводы, сделанные нами для рассмотренного частного случая, мы можем сейчас обобщить. Именно, мы говорим, что всякую функцию в области некоторых достаточно малых изменении аргумента всегда можно с нужной точюстью изобразить в виде суммы членов степенного ряда. Число этих членов при данной выбранной нами точности будет тем меньше, чем меньше область изменения аргумента, в которзй мы хотим изобразить нашу функцию в виде ряда. Чем больше пределы изменения аргумента, тем более высокие члены этого ряда начинают играть роль. При достаточно малых пределах изменения аргумента мы всегда можем ограничиться первыми двумя или тремя членами ряда.

Теперь мы вернемся к вопросу о симметричных и несимметричных функциях. Если вся функция лежит по одну сторону от оси абсцисс, то это значит, что и все члены ряда, которым данная функция изображается, лежат по ту же сторону от оси абсцисс. А это, как мы видели выше, значит, что все эти члены ряда должны быть четными степенями х, то-есть если функция лежит вся по одну сторону от оси абсцисс, то она изображается рядом

у = «о -j- age2 + а±х* -f- • • • наоборот, если функция совершенно симметрична относительно осей координат, то и члены ряда должны быть симметричны относительно осей координат, т.-е. ряд должен состояв только из Нечетных степеней и должен иметь вид:

у 3= а^х -|- а8ж3 + + • . .

и лишь только в общем случае, когда функция расположена по обе стороны от оси абсцисс, но не симметрична относительно осей, в ряд, изображающий эгу функцию, входят как четные, так и нечетные степени х.

Но мы видели, что при достаточно малых изменениях аргумента всегда можно ограничиться только одним или двумя первыми членами ряда