Страница:Радиофронт 1932 г. №09.djvu/58

Материал из РадиоВики - энциклопедии радио и электроники
Перейти к: навигация, поиск
Выкупить рекламный блок
Эта страница не была вычитана


15 МАЯ 1932? п.

Все эти формулы получаются на основании предыдущей. Мы покажем это лишь для первой формулы: если

dy 1

y = arcsmx, то ж = sm у; — = .

а dx cos у

Но cos г/ = |/1 — sin2 у — }/ 1 — ж2 (на основании известной тригонометрической формулы sin8 ж cos8 ж = 1). Значит,

окончательно имеем: ~ =

.dy

1 '

dx у 1 — ж8

Формула (4) связана с диференциро- ванием прямой функции у = ctg х, которое производится так же, как и для tga; (см. предыдущую статью). Мы этого не будем делать, а приведем лишь окончательный результат

' «’<«*)'=—ijjhr <5>

3) Производная показательно-степенной функции

у — U где D=f(x) и Г=<р(ж) y'=U’(VgeU+?j - U') (6)

< Докажем эту формулу. Прологарифмируем функцию: 1 gey — V ■ lge U. На основании свойств логарифма можно написать: y — ev- %и Теперь продиференцируем это выражение, как сложную и показательную функцию: у' = ея • ,г«“ (F 1де U+ V ■ ~ - U) =

V

= U° (V'lge U-- jj . U'). Интересно отметить, что сама показательная функция (1Г) всегда неизменно входит в выражение для производной. Этим исчерпываются все важнейшие формулы дифе- ренцирования. Решим несколько примеров на эти последние формулы.

Пример 1. у = хх-, у'~ххi)gex--). Это получается прямо по формуле (6) Пример 2.

у = емс tga5; у' = earc tex- 1 .

1 -1— ж8

(По формуле (3) и правилу диферен- цирования сложной функции.)

Пример 3.

у = е3а> • arc sin у' = £х . arc sin —■+

и 'Z

+ - -y=L== • А-= Яз arc sin

]/l—ж2 2 a/17

2|/l.ж8) ’

Так как дальше нам еще много раз-, придется находить производные различных функций, то мы ограничимся пока этими примерами. Для удобства, нахождения нужных формул в след. N° даем таблицу основных формул дифе- ренцирования различных функций, к которой следует обращаться при отыскании производных.

А теперь займемся ваяшым для дальнейшего вопросом о производных и ди- ференциалах высших порядков:

Производные и диференциалы высших порядков

До сих пор нами рассматривались производные и диференциалы первого* порядка.

Мы выяснили в одной из прошлых: статей, что производная функции, вообще говоря, сама является некоторой функцией аргумента (хотя в частных- случаях она может быть числом постоянным или нулем). Поэтому возможно продиференцировать саму производную f (х) и таким путем получить, производную второго порядка относительно первоначальной функции f (х). Она. обозначается символами f (х), y",[f(x) Кроме того можно написать, что: f (х) — —[f(x)]'. Очевидно, что можно еще раз продиференцировать f (х) и получить производную третьего порядка f" (х) и т. д. Однако на практике редко приходится иметь дело с производными выше второго и третьего порядков. Нахождение производных высших порядков сводится к последовательному диференцирова- нию функции. Так как уже первая производная некоторых функций равна нулю или постоянному числу, то во многих случаях производные высшего порядка тоже обращаются в нуль. Это относится главным образом к алгебраическим функциям. Что же касается функций трансцендентных, то они обычно, имеют бесчисленное множество высших производных. Кроме производных имеются также диференциалы высших

5?